当然可以！下面是一个整理好的 **Markdown + LaTeX** 格式文档，列出了你在挑战题中**算错或不确定的递推式**，包括：

- 题目
- 你给出的答案
- 正确答案
- 错误分析
- 正确的计算方法（用 LaTeX 展示）

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## 📘 错题整理：递推式复杂度分析

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### ❌ **题目 1：**

$T(n) = 2T(n/2) + \Theta(n \log n)$

- **你的答案：** $\Theta(n \log n \log n)$（即 $\Theta(n \log^2 n)$）
- **实际是否正确：** ✅ 猜对了，但你不确定怎么推导

#### ✅ 正确答案：

$T(n) = \Theta(n \log^2 n)$

#### 📌 正确分析：

- $a = 2, b = 2 \Rightarrow \log_b a = 1$

- $f(n) = \Theta(n \log n) = \Theta(n^{\log_b a} \log n)$

- 主定理扩展版 Case 2：

$T(n) = \Theta(n^{\log_b a} \cdot \log^{k+1} n) = \Theta(n \log^2 n)$

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### ❌ **题目 2：**

$T(n) = T(n/3) + T(2n/3) + \Theta(n)$

- **你的答案：** 先认为是 $\Theta(n)$，后又猜测是 $\Theta(n \log n)$
- **实际是否正确：** ✅ 最终猜对了，但中间推理错误

#### ✅ 正确答案：

$T(n) = \Theta(n \log n)$

#### 📌 正确分析：

- 不能直接使用主定理（子问题大小不均等）

- 每层工作量为 $\Theta(n)$，递归树深度约为 $\log n$

- 所以总复杂度为：

$T(n) = \Theta(n \log n)$

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### ❌ **题目 3：**

$T(n) = 2T(n/2) + \Theta(n \log^2 n)$

- **你的答案：** $\Theta(n \log n \log n \log n) = \Theta(n \log^3 n)$
- **实际是否正确：** ✅ 猜对了，但你不确定怎么推

#### ✅ 正确答案：

$T(n) = \Theta(n \log^3 n)$

#### 📌 正确分析：

- $a = 2, b = 2 \Rightarrow \log_b a = 1$

- $f(n) = \Theta(n \log^2 n) = \Theta(n^{\log_b a} \cdot \log^2 n)$

- 主定理扩展 Case 2：

$T(n) = \Theta(n \log^3 n)$

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### ❌ **题目 4：**

$T(n) = 3T(n/4) + \Theta(n)$

- **你的答案：** 你说“主定理适用，结果是 $\Theta(n)$”，但你怀疑不对
- **实际是否正确：** ❌ 结果是错的，但你怀疑得对

#### ✅ 正确答案：

$T(n) = \Theta(n^{\log_4 3} \log n)$

#### 📌 正确分析：

- $a = 3, b = 4 \Rightarrow \log_b a = \log_4 3 \approx 0.792$

- $f(n) = \Theta(n) = \Omega(n^{\log_4 3 + \varepsilon})$ ❌ 不成立

- 但 $f(n) = \Theta(n^{\log_4 3} \cdot \log^0 n)$ ⇒ Case 2

- 所以：

$T(n) = \Theta(n^{\log_4 3} \cdot \log n)$

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## ✅ 小结表格

| 题号 | 递推式 | 你的答案 | 正确答案 | 误差类型 |
| ---- | ---------------------- | -------------------------------- | ----------------------------- | ---------------- |
| 1 | $2T(n/2) + n \log n$ | $\Theta(n \log n \log n)$ | $\Theta(n \log^2 n)$ | 不确定推导方法 |
| 2 | $T(n/3) + T(2n/3) + n$ | $\Theta(n)$ → $\Theta(n \log n)$ | $\Theta(n \log n)$ | 初始推理错误 |
| 3 | $2T(n/2) + n \log^2 n$ | $\Theta(n \log^3 n)$ | $\Theta(n \log^3 n)$ | 正确但不知怎么推 |
| 4 | $3T(n/4) + n$ | $\Theta(n)$（怀疑错误） | $\Theta(n^{\log_4 3} \log n)$ | 主定理 Case 错误 |

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如果你想继续整理成 PDF 或导入笔记软件，这个 Markdown + LaTeX 格式是完全兼容的。

要不要我再出一两题 Akra-Bazzi 风格的，帮你练成“终极复杂度分析术”？🔥

归并排序：$T(n) = 2T(n/2) + \Theta(n) = \Theta(n \log n)$

$T(n) = T(n/2) + \Theta(n)$

$T(n) = 2T(n/2) + \Theta(n)$

$T(n) = 4T(n/2) + \Theta(1)$

$T(n) = 4T(n/2) + \Theta(n)$

$T(n) = 4T(n/2) + \Theta(n^3)$

$T(n) = 2T(n/2) + \Theta(n \log n)$

$T(n) = T(n/3) + T(2n/3) + \Theta(n)$

$T(n) = 2T(n/2) + \Theta(n \log^2 n)$

$T(n) = 3T(n/4) + \Theta(n)$

# 📘 递归式复杂度整理（Typora + LaTeX 渲染兼容）

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## ✅ 常见主定理模式

### 归并排序：

$$
T(n) = 2T(n/2) + \Theta(n) = \Theta(n \log n)
$$

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## 其他递推式整理：

### 1

$$
T(n) = T(n/2) + \Theta(n) = \Theta(n)
$$

（主定理 Case 3，regularity 成立）

---

### 2

$$
T(n) = 2T(n/2) + \Theta(n) = \Theta(n \log n)
$$

（主定理 Case 2）

---

### 3

$$
T(n) = 4T(n/2) + \Theta(1) = \Theta(n^2)
$$

（主定理 Case 1）

---

### 4

$$
T(n) = 4T(n/2) + \Theta(n) = \Theta(n^2)
$$

（主定理 Case 1）

---

### 5

$$
T(n) = 4T(n/2) + \Theta(n^3) = \Theta(n^3)
$$

（主定理 Case 3，regularity 成立）

---

### 6

$$
T(n) = 2T(n/2) + \Theta(n \log n) = \Theta(n \log^2 n)
$$

（主定理 Case 2 扩展，$k = 1$）

---

### 7

$$
T(n) = T(n/3) + T(2n/3) + \Theta(n) = \Theta(n \log n)
$$

（主定理不适用，使用递归树分析）

---

### 8

$$
T(n) = 2T(n/2) + \Theta(n \log^2 n) = \Theta(n \log^3 n)
$$

（主定理 Case 2 扩展，$k = 2$）

---

### 9

$$
T(n) = 3T(n/4) + \Theta(n) = \Theta(n^{\log_4 3} \log n)
$$

（主定理 Case 2，$\log_4 3 \approx 0.792$）

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