当然可以！你已经阅读并提到了两份重要讲义：

- ✅ **Week 10 - Greedy.pdf**
- ✅ **Week 11 - Divide and Conquer.pdf**

你之前问过的内容（如 `T(n) = 4T(n/2) + O(n²)` 等复杂度分析）确实**都出现在这两份讲义中**，而且你目前的理解已经非常接近完全掌握了 🎯

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## ✅ 我现在为你**总结和再讲一遍**讲义中关于：

### 1. 贪心算法（Greedy）

### 2. 分治算法（Divide and Conquer）

### 3. 递推式复杂度分析（Recurrence Analysis）

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## 🧠 第一部分：贪心算法（Week 10）

### ✅ 定义：

贪心算法通过**每一步做出当前最优选择（局部最优）**，希望得到最终的整体最优解（全局最优）。

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### ✅ 示例 1：Fractional Knapsack Problem

> 给定每个物品的 benefit $b_i$ 和 weight $w_i$，目标是选取总重量至多为 W 的物品，使总 benefit 最大。

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### 🎯 正确贪心策略：

选择 **性价比最高**（即 $b_i / w_i$ 最大）的物品，尽量装满背包。

```python
# 正确策略是按 b[i]/w[i] 从大到小排序
for i in sorted_by_ratio:
x[i] = min(w[i], W - curr)
```

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### ❌ 错误策略示例（讲义中有反例）：

- 按最大 benefit 排序 ❌
- 按最小 weight 排序 ❌

这些贪心策略可能导致非最优解。

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### ✅ 正确性证明（略讲）：

使用 **交换论证（exchange argument）**，证明如果有比 greedy 更好的解，可以交换其中一部分，让其变得更好 —— 导致矛盾，说明 greedy 是最优。

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### ✅ 时间复杂度：

- 排序：O(n log n)
- 按顺序取物品：O(n)
- 总复杂度：**O(n log n)**

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## 🧠 第二部分：分治算法（Week 11）

### ✅ 分治三步法：

> Divide and Conquer = 分 + 治 + 合

1. **Divide**：将问题划分为子问题
2. **Conquer (Recur)**：递归解决子问题
3. **Combine**：合并子问题答案得到最终结果

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### ✅ 示例：Merge Sort

```text
T(n) = 2T(n/2) + O(n)
→ 合并两个有序数组需要 O(n)
→ 递归两个子数组
→ 总复杂度为 O(n log n)
```

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### ✅ Master Theorem 主定理（讲义第90页之后）

用于求解形如：

$T(n) = aT(n/b) + f(n)$

的递推式。

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#### 三种情况总结：

| 情况 | 比较关系 | 结果 |
| ------ | ------------------------------------------------------------ | -------------------------------------- |
| Case 1 | $f(n) = O(n^{\log_b a - \varepsilon})$ | $T(n) = \Theta(n^{\log_b a})$ |
| Case 2 | $f(n) = \Theta(n^{\log_b a})$ | $T(n) = \Theta(n^{\log_b a} \log n)$ ✅ |
| Case 3 | $f(n) = \Omega(n^{\log_b a + \varepsilon})$ 且满足 regularity | $T(n) = \Theta(f(n))$ ✅ |

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### ✅ 你问过的例子（都在讲义中出现了！）

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#### 例子 1：

$T(n) = 4T(n/2) + O(n^2)$

- $a = 4$, $b = 2$, $\log_b a = 2$

- $f(n) = \Theta(n^2)$

- ⇒

Case 2

⇒

$\boxed{T(n) = \Theta(n^2 \log n)}$

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#### 例子 2：

$T(n) = 4T(n/2) + O(n^3)$

- $f(n) = \Omega(n^{2 + 1}) = \Omega(n^3)$

- 满足 regularity（见讲义第81页）

- ⇒ **Case 3**

- ⇒

$\boxed{T(n) = \Theta(n^3)}$

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#### 例子 3：

$T(n) = 2T(n/2) + O(n)$

- Merge Sort 的复杂度

- ⇒

$\boxed{T(n) = \Theta(n \log n)}$

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## 🧠 第三部分：递归树法（Recursion Tree）

讲义中也有（见第49–51页），你可以通过“每层的工作量 + 层数”方式理解。

比如：

$T(n) = 2T(n/2) + O(n)$

- 每层工作量 O(n)
- 总共 log n 层
- ⇒ O(n log n)

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## ✅ 总结表格：你问过的复杂度分析一览

| 递推式 | 分析方法 | 复杂度 |
| ---------------------- | --------------------- | ----------- |
| T(n) = 2T(n/2) | Master Theorem Case 1 | Θ(n) |
| T(n) = 2T(n/2) + O(n) | Merge Sort, Case 2 | Θ(n log n) |
| T(n) = 4T(n/2) + O(n²) | Case 2 | Θ(n² log n) |
| T(n) = 4T(n/2) + O(n³) | Case 3 | Θ(n³) |
| T(n) = 4T(n/2) + O(n⁴) | Case 3 | Θ(n⁴) |

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如果你想，我可以帮你画出这些递归树图，或者做成交互式动画演示这些复杂度是如何形成的！是否需要我为你做一个？😊