太棒了！你问的这个问题——**“为什么 T(n) = 4T(n/2) + O(n³) 不是 n³ × log n？”** ——是很多人学习主定理时的**关键卡点**。

现在我来用**直观图表 + 层级分析 + 递归树法**来一步步解释这个问题，确保你彻底明白为什么答案是 **Θ(n³)**，而不是 **n³ × log n**。

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## ✅ 递推式：

$T(n) = 4T(n/2) + O(n^3)$

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## 🧠 你以为是：

“每层做 `O(n³)`，有 `log n` 层，所以总工作量 = `O(n³ log n)`”
这个思路**在某些递推中成立**，比如归并排序：

> $T(n) = 2T(n/2) + O(n) \Rightarrow O(n \log n)$

但在这道题中，它**不成立**！

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## ✅ 为什么？我们来一层一层看！

我们用 **递归树法** 来直观分析：

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### 🔢 每层的结构：

| 层级 | 子问题个数 | 每个子问题大小 | 每个子问题工作量 $O(n^3)$ 变成多少？ | 每层总工作量 |
| ---- | ---------- | -------------- | ------------------------------------ | --------------------- |
| 0 | 1 | n | $O(n^3)$ | $O(n^3)$ |
| 1 | 4 | n/2 | $O((n/2)^3) = O(n^3/8)$ | 4 × n³/8 = O(n³/2) |
| 2 | 16 | n/4 | $O((n/4)^3) = O(n^3/64)$ | 16 × n³/64 = O(n³/4) |
| 3 | 64 | n/8 | $O((n/8)^3) = O(n^3/512)$ | 64 × n³/512 = O(n³/8) |
| ... | ... | ... | ... | ... |
| k | $4^k$ | $n/2^k$ | | O(n³ / 2^k) |

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### 🔁 观察规律：

- 层数是 $\log_2 n$
- 每层工作量是：

$O(n^3),\quad O(n^3/2),\quad O(n^3/4),\quad O(n^3/8),\quad \dots$

这其实是一个**等比数列**，首项 $a = n^3$，比值 $r = 1/2$

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### 📦 所以**总工作量是**：

$T(n) = n^3 \cdot \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots\right)$

这是一个经典的无限等比数列求和：

$T(n) = n^3 \cdot \left(\frac{1}{1 - 1/2}\right) = n^3 \cdot 2 = \boxed{\Theta(n^3)}$

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## 💥 关键点：**不是每层都是 O(n³)**！

你以为是：

> 每层都是 O(n³)，有 log n 层 ⇒ O(n³ log n)

❌ 但其实：

- 第 0 层是 O(n³)
- 第 1 层是 O(n³ / 2)
- 第 2 层是 O(n³ / 4)
- ...
- 第 k 层是 O(n³ / 2^k)

所以**每层工作量在下降**！

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## ✅ 总结图解

```text
T(n) = 4T(n/2) + O(n³)

递归树：

Level 0: T(n) → O(n³)
/ / \ \
Level 1: T(n/2) T(n/2) T(n/2) T(n/2) → 4 × (n/2)³ = O(n³ / 2)
/... (16 calls total)
Level 2: T(n/4) ... → O(n³ / 4)
...
Level log n: T(1) ... → O(1)

层总工作量加起来 ≈ n³ (等比数列)
```

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## ✅ 最后的结论：

| 误解 | 正确分析 |
| -------------------------------------- | ----------------------------------------------------- |
| 每层都是 O(n³)，所以总共 O(n³ log n) ❌ | 每层是 O(n³), O(n³/2), O(n³/4)...，总和有限 ⇒ O(n³) ✅ |

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如果你希望，我可以用 HTML 或 React 帮你做一个可视化的递归树动画，动态演示这个过程 😄 只要你说一声！